Einföld algebra/Aðgerðir með bókstafi

Þó svo við notum sömu aðgerðir í algebru og í talnareikningi er reikningur er ýmsu hagað öðruvísi í algebru. Í þessum kafla er markmiðið að kynna lesandanum fyrir því hvernig reiknað er með bókstöfum og ýmsar venjur kynntar sem almennt eru viðhafðar.

Í talnareikningi þekkjum við margar mismunandi aðgerðir á borð við:

$2+3,4-2,6\times 2,{\frac {8}{2}},{\sqrt {4}}$

Við getum reiknað beint út úr þessu og fengið endanlegt svar sem er einhver tala. Þegar við beitum aðgerðum á bókstafi er þessu öðruvísi farið:

$a+b,a-b,a\times b,{\frac {a}{b}},{\sqrt {a}}$

Hér getum við ekki reiknað stæðurnar (við köllum jöfnu sem samanstendur af bókstöfum og aðgerðum algebrustæðu eða bara stæðu) þar sem bókstafirnir eru staðgenglar einhverra talna. Stæðan a×b er gjarnan rituð ab en þetta er ritháttur sem menn hafa komið sér saman um. Takið eftir að þetta virkar aðeins í algebrureikningi enda er ekki hægt að gera greinarmun á tölunni 1415 og margfeldi talnanna 14 og 15 ef þessi venja væri viðhöfð í talnareikningi.

Einnig er talað um að: plús og mínus skipta liðum. Í stæðunni a + b - c er hver bókstafur liður, hvað eftirfarandi stæðu eru einnig þrír liðir:

$a\times b-{\frac {a}{b}}+{\sqrt {a}}$

Þetta hugtak, liður, skiptir okkur miklu máli og verður fjallað mikið um það í kaflanum um einföldun stæða.

Samlagning og frádráttur líkra liða

Við vitum að fjórar tylftir (tylft þýðir tólf) og fimm tylftir eru samtals níu tylftir. (4×12)+(5×12) = 9×12 þarna eru liðirnir líkir þar sem báðir innihalda töluna 12, þessu er alveg eins farið í algebru þar sem 4a + 5a = 9a, þar sem a getur verið hvaða tala sem er, til dæmis 12. Það sama gildir um frádrátt: 4a - 5a = -a. Takið eftir að ekki þykir þörf á því að rita -1a þar sem -a þýðir það sama.

Víxlreglan fyrir samlagningu

Þegar við teljum fjölda líkra hluta skiptir engu máli á hvaða hlut við hefjum talninguna. Því vitum við að ef í einum pokar eru fimm epli og í öðrum pokar eru fjögur, skiptir engu máli í hvaða poka við teljum fyrst, heildarfjöldinn verður alltaf sá sami. Þetta kallast víxlregla fyrir samlagningu en sambærileg regla gildir um margföldun. Á almennu formi er víxlreglan fyrir samlagningu svona:

a + b = b + a

Þ.e.a.s. ef við skoðum aftur dæmið með eplunum gildir einu hvort við ritum 4 + 5 eða 5 + 4, niðurstaðan er í báðum tilfellum níu.

Verkefni úr þessum kafla.