Mengi

Höfundur: Hulda Hvönn Kristinsdóttir

Mengi (e. set) eru stærðfræðileg fyrirbæri sem heyra undir mengjafræði (e. set theory). Mengi eru, samkvæmt skilgreiningu, vel skilgreint samansafn aðgreinanlegra hluta. Með aðgreinanlegra er meint að engir tveir hlutir í gefnu mengi eru eins. Mengi leyfa, með öðrum orðum, ekki endurtekningar. Mengi eru jafn mismunandi og þau eru mörg. Mengið ℝ er mengi allra rauntalna, mengið spendýr er mengi allra dýra sem fæða afkvæmi sín mjólk úr spena, mengið Alþingi er mengi allra þeirra sem sinna starfi þingmanns á Íslandi. Því eru engar skorður settar hversu stór mengi eru eða af hverju þau standa.

Mengi af fánum ríkja ESB

Framsetning

Mengi eru oftast táknuð með slaufusvigum, það er $\{...\}$ og stök aðgreind með kommum. Þá er mengið A sem samanstendur af tölunum 1 og 2 sett fram sem $A=\{1,2\}$ . Tölurnar $1$ og $2$ eru kölluð stök mengisins $A$. Þá má skrifa að skrifað $1\in A$ sem lesið er „1 stak í $A$“. Sagt er að mengið $A$ hafi fjöldatölu 2 þar sem það inniheldur 2 stök. Almennt gildir að fjöldatala segir til um fjölda staka í mengi. Innihaldi mengi óendanlega mörg stök hefur það fjöldatöluna $\infty$. Önnur framsetning á mengjum er með því að nota svokallaðar Venn myndir. Venn myndir eru myndræn framsetning á mengjum og eru nefndar eftir enska stærðfræðingnum John Venn. Mengi á Venn myndum eru almennt sett fram með hringjum og stök þeirra rituð innan þeirra.

Venn mynd þar sem A er hlutmengi í B og C

Hlutmengi

Hlutmengi er hluti af stökum annars mengis. Hlutmengi er mengi í eigin rétti og fylgir sömu lögum og lofum og mengi almennt gera. Ef við lítum til að mynda á mengið $B=\{1,2,5\}$ þá er það hlutmengi í menginu $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ en mengið $C=\{1\}$ er hlutmengi í $B$. Þá er ritað að $B\subseteq A$. Sérhvert mengi er hlutmengi í sjálfu sér og er þá kallað eiginlegt hlutmengi og tómamengið $\varnothing$, sem inniheldur engin stök, er hlutmengi í sérhverju mengi. Stundum er sagt að mengi $A$ umlykji mengi $B$ ef $B$ er hlutmengi í $A$ eða að $B$ sé innihaldið í $A$. Hafa skal hugfast að stakið 1 og mengið $\{1\}$ eru ekki sami hluturinn. Stakið 1 er tala en mengi eru ekki tölur, þó svo þau geti innihaldið tölur. Því er ekki rétt að skrifa að $\{1\}\in \mathbb {R}$ eða að $1\subseteq \mathbb {R}$. Rétt væri hins vegar að halda því fram að $\{1\}\subseteq \mathbb {R}$ og að $1\in \mathbb {R}$.

Sammengi og sniðmengi

Sammengi er mengi sem inniheldur öll stök tveggja eða fleiri mengja. Ef gefin eru mengin $A=\{1,2,3\}$ og $B=\{3,5,7\}$ þá er sammengi þeirra mengið $\{1,2,3,5,7\}$ . Þá er skrifað að $A\cup B=\{1,2,3,5,7\}$. Sniðmengi, á hinn veginn, er mengi sem inniheldur þau stök sem eru sameiginleg tveimur eða fleiri mengjum. Því er sniðmengi mengjanna $A$ og $B$ mengið $\{3\}$ þar sem $3$ er eina stakið sem er bæði í $A$ og $B$. Þá er ritað að $A\cap B=\{3\}$. Á vennmyndum eru sammengi sameining þeirra hringja sem vísa til tilsvarandi mengja sammengisins en sniðmengi á vennmyndum svæðið sem verður til þegar hringirnir skarast. Á myndinni hér að ofan er sammengið allur litaði flöturinn en sniðmengið er blágræna svæðið. Þar er mengið $A$ hlutmengi í sniðmenginu, þ.e. $A\subseteq B\cap C$.

Fyllimengi og mengjamismunur

Fyllimengi mengis eru öll stök utan mengisins. Almennt, þegar talað er um fyllimengi, er svokallað almengi tiltekið. Almengi eru allar þær tölur sem við tökum til greina í útreikningunum hvert sinn og er oft táknað með $G$. Á vennmyndum eru þau gjarnar táknuð með rétthyrningum í stað hringja. Ef $G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ og $A=\{1,4,9\}$. Fyllimengi $A$ í $G$ eru því öll stök $G$ sem ekki eru í $A$, þau eru $\{2,3,5,6,7,8,10\}$. Þá er ritað að ${\bar {A}}=\{2,3,5,6,7,8,10\}$. Ef $A=\{4,5,6,7\}$ og $B=\{6,7,8,9,10\}$ þá er mengjamismunur $B$ við $A$ mengið $\{8,9,10\}$, táknað með $B\setminus A=\{8,9,10\}$, þ.e. öll stök $B$ sem ekki eru í $A$.

Ýmis þekkt mengi

Sum mengi eru meira notuð en önnur. Þegar hefur verið nefnt mengi rauntalna. Skoðum þau helstu.

• $\mathbb {N} =\{1,2,3,\dots \}$ er mengi náttúrulegra talna (e. natural numbers).
• $\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,\dots \}$ er mengi náttúrulegra talna að viðbættri tölunni 0.
• $\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ er mengi heilla talna (e. integers). Það inniheldur mengi náttúrulegra talna auk neikvæðra, heilla talna og 0.
• $\mathbb {Q}$ er mengi allra ræðra talna (e. rational numbers), það er talna sem skrifa má sem almennt brot. Í því eru því allar heilar tölur sem og allar tölur sem skrifa má á forminu ${\frac {a}{b}}$ þar sem $a,b\in \mathbb {Z}$. Athugið sérstaklega að í þessu felast einnig öll endanlega löng tugabrot, eins og $1,5$ og $1,456$ og öll lotubundin tugabrot, eins og $0,{\overline {3}}$ og $1,{\overline {21}}$.
• $\mathbb {R}$ er mengi rauntalna (e. real numbers) og inniheldur öll áðurnefnd mengi sem og óræðar tölur á borð við $\pi$, $e$ og ${\sqrt {2}}$.

Talnamengin

Ef gefið er mengi sem hefur plús í fótskrift táknar það mengi allra jákvæðra talna í gefnu mengi, t.a.m. $\mathbb {Z} _{+}$ sem táknar allar jákvæðar, heilar tölur. Sambærileg skilgreining fæst fyrir mínus í fótskrift, sem táknar þá mengi allra neikvæðra talna í gefnu mengi. Athugið að 0 er hvorki jákvæð né neikvæð tala og er því aldrei hluti af mengi með plús eða mínus í fótskrift.

Spurningar

1. Nefndu nokkur dæmi um mengi sem við notum dagsdaglega.
2. Hvað eru Venn myndir? Útskýrðu hvenær þú heldur að þær geti komið að gagni.
3. Búðu til mengin A, B og C sem innihalda einhverjar heiltölur á bilinu 1-20. Finndu $A\cap B$, $A\cup B\cup C$ og $G\setminus A$. Er eitthvert mengjanna hlutmengi í öðru?
4. Hver heldurðu að fjöldatala mengis allra náttúrulegra talna sé?

Krossapróf

1 Gefin eru mengin $A=\{50,100,150,200,250,300\}$ og $B=\{25,50,75,100,125,150,175,200,225,250\}$. Hvað er $A\cap B$.

	$A\cap B=\{25,50,75,100,125,150,175,225,200,250,300\}$
	$A\cap B=\{50,100,150,200,250\}$
	$A\cap B=\{50,100\}$
	$\varnothing$

2 Í Staðarholtsskóla eru tvær nefndir, skemmtinefnd og ferðanefnd. Látum mengi þeirra sem eru í skemmtinefndinni vera táknað með S og ferðanefndinni F. Þá er $F=\{Anna,Jonni,Sveinn,Ragnar,Loftur,Halla,Danni\}$ og $S=\{Frikki,Jonni,Lea,Ragnar,Andri,Magnea,Fanney\}$. Finndu mengi allra þeirra sem eru í ferðanefndinni en ekki í skemmtinefndinni og tjáðu með stærðfræðilegum táknum.

	$F\setminus S=\{Anna,Sveinn,Loftur,Halla,Danni\}$
	$S\setminus F=\{Anna,Sveinn,Loftur,Halla,Danni\}$
	$F\cup S=\{Anna,Sveinn,Loftur,Halla,Danni,Magnea\}$
	$F\cap S=\{Anna,Sveinn,Halla,Danni,Fanney\}$

3 Hver er fjöldatala mengisins $A=\{7,9,4,3,2,19,21,34,99\}$?

	34
	8
	99
	9

4 Hvert af eftirtöldu er ekki mengi?

	Sjávardýr
	Nemendur í Háteigsskóla
	Harry Potter bækurnar
	Þetta eru allt mengi.

5 Gefið er mengið $A=\{7,14,21,28,35,42,49\}$ og $B=\{14,28,42\}$. Merktu við rétta fullyrðingu.

	$A\subseteq B$
	$B\subseteq A$
	${\bar {A}}=B$
	$B\subseteq \varnothing$

6 Merktu við réttan kross.

	$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Z}$
	$\mathbb {Z} _{0}\subseteq \mathbb {Z}$
	$\mathbb {R} \subseteq \mathbb {Q}$
	$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {R}$

Heimildir

• Brian Duignan. Sótt af: https://www.britannica.com/biography/John-Venn

Tengt efni

• Íslenska Wikipedia síðan um mengi

Gagnlegir tenglar og myndbönd

• Video Khan Academy um mengi
• Inngangur að mengjum
• Ýmis mengjatákn