Fylki

Höfundur: Hrönn Pálsdóttir

Þessi wikibók er kynning á fylkjum og fylkjaaðgerðum. Fylkjareikningur skýtur víða upp kollinum og sér í lagi er hann ómissandi þegar tölvur koma í spilið.

Inngangur

Hér verður farið í grunnatriði fylkja, það er hvað er fylki, til hvers þau eru notuð, reikniaðgerðir fylkja og bylt fylki.

Kynning á fylkjum

Hér verður uppbygginng fylkja kynnt og farið í hvað er átt við með stærð fylkis og staki fylkis. Þá verður einnig farið í hvað er ferningsfylki, hornalínufylki og einingarfylki.

Uppbygging fylkja

Mynd 1. Uppbygging fylkja

Í stærðfræði er fylki (e. matrix, fleitrala matrices) rétthyrnd röðun af tölum eða táknum sem raðast í raðir og dálka. Fylki eru sett í sviga, annað hvort með bogalaga sviga, ($\ldots$), eða með hornklofa [$\ldots$]. Fylki eru almennt táknuð með stórum staf. Dæmi um fylki:

$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ og $B={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}$

Láréttar raðir staka í fylki kallast línur (stundum kallaðar raðir) en lóðréttar dálkar.

Tökum einfalt dæmi um hvers konar gögn geta verið í fylki. Línur fylkisins tákna nemendur, t.d. gæti Aron átt gögin í línu 1, Birna í línu 2 og Daníel í línu 3 og Elín í línu 4. Látum dálkana tákna einkunnir. Í 1. dálki er lestur, í 2. dálki skrift og í 3. dálki stærðfræði. Þá gæti fylkið litið svona út:

${\begin{bmatrix}6&7&8\\7&8&8\\6&4&10\\9&8&9\\\end{bmatrix}}$

Þá má lesa einkunnir nemenda fjögurra í þessum fögum úr fylkinu, til dæmis að Aron hefði fengið 7 í skrift, Elín 9 í lestri og Daníel 10 í stærðfræði.

Stærð fylkis

Stærð fylkis er skilgreind út frá fjölda lína og dálka sem það inniheldur. Fylki með $m$ línum og $n$ dálkum kallast $m\times n$ fylki, lesið „m-sinnum-n“ fylki. Skoðum fylkið $C$ þar sem:

$C={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$

Stærð $C$ er $2\times 3$, því það hefur tvær línur og þrjá dálka.

Athugið að röðin skiptir máli lína $\times$ dálkur, það er fjöldi lína kemur fyrst svo fjöldi dálka.

Fylkið $A$ með m línur og n dálka er hægt að skrifa sem: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\ldots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Sagt er að fylkið $A$ sé af stærðinni m×n, það er að fylkið hefur m línur og n dálka.

Fylkið $A$ er líka hægt að tákna með $A(i,j)=a_{ij}$, eða $\{a_{ij}\}$, þar sem $i=1,2,3,$$\ldots ,m$ og $j=1,2,3,$$\ldots ,n$.

Stak fylkis

Tölurnar eða táknin sem eru í fylkinu eru kölluð stök. Þegar vísa skal í tiltekið stak í fylki er fyrst vísað í númer línu og síðan í númer dálks. Til dæmis er stak númer 32 í fylki $A$ hér fyrir ofan stakið $a_{32}$, það er stak í línu númer 3 og dálki númer 2.

Skoðum fylkið:

$D={\begin{bmatrix}9&-2&0&7\\1&5&4&11\\3&-1&2&5\end{bmatrix}}$,

stak númer 32 er $-1$, því talan í línu 3 og dálki 2 er $-1$. Þetta er stundum táknað $d_{32}=-1$, þá vísar litla $d$ í fylkið $D$ og fótskriftin í númer staksins. Stak númer 23 er hins vegar $4$.

Stundum er sett komma milli númer línu og dálks en það er óþarfi ef fjöldi lína og dálka er undir 10.

Ferningsfylki

Fylki sem hafa jafn margar línur og dálka kallast ferningsfylki. Dæmi um slík fylki eru:

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$ sem er $2\times 2$ fylki og

$B={\begin{bmatrix}1&4&3\\-3&1&2\\0&-2&1\end{bmatrix}}$ sem er $3\times 3$ fylki.

Hornalínufylki

Ferningsfylki sem hafa öll stök 0 nema í hornalínunni niður til hægri getur verið hvaða tala sem er kallast hornalínufylki. Dæmi um hornalínufylki eru:

$C={\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}$ og $D={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&7\end{bmatrix}}$.

Einingarfylki

Hornalínufylki sem hefur töluna 1 í allri hornalínunni niður til hægri kallast einingarfylki. Einingarfylki eru almennt táknuð með stóru $I$. Dæmi um einingarfylki eru:

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ og $I={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$.

Einingarfylki eru margföldunarhlutleysa fylkja að því gefnu að hægt sé að margfalda fylkin saman.

Fylkjaaðgerðir

Í þessum hluta verður farið í reikniaðgerðir fylkja, það er margföldum með fasta, samlagningu og margföldun. Þá verða bylt fylki líka tekin fyrir hér.

Fylki margfaldað með fasta

Þegar fylki er margfaldað með fasta (tölu), $k$, þá er sérhvert stak fylkinsins margfaldað með $k$-inu.

Til dæmis ef $A={\begin{bmatrix}3&-1\\-2&4\\2&1\end{bmatrix}}$ þá er $3A={\begin{bmatrix}3\cdot 3&3\cdot (-1)\\3\cdot (-2)&3\cdot 4\\3\cdot 2&3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9&-3\\-6&12\\6&3\end{bmatrix}}$.

Eftirfarandi reglur gilda um margföldun fylkja með fasta (tölu):

Dreifireglur:

$(k+l)A=kA+lA$

$k(A+B)=kA+kB$

Tengiregla:

$(kl)A=k(lA)$

Margföldunarhlutleysa, margfaldun með tölunni 1:

$1A=A$

Samlagningarandhverfa, margföldun með tölunni $(-1)$:

$(-1)A=-A$

Margföldun með tölunni núll:

$0A={\boldsymbol {0}}$ sem er núllfylki, öll stökin eru núll.

Samlagning fylkja

Mynd 2. Summa fylkja (rautt + grænt = blátt)

Þegar leggja skal saman tvö fylki þá eru stök í sömu sætum lögð saman og mynda þannig nýtt fylki, sjá Mynd 2 hér til hægri.

Examples:

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\4&6\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}7&8\\-6&5\\-4&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+7&2+8\\3+(-6)&4+5\\4+(-4)&6+3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&10\\-3&9\\0&9\end{bmatrix}}$

Nú er frádráttur mögulegur þar sem $A-B=A+(-1)B$. Þetta þýðir að sérhvert stak í fylkinu B er dregið frá staki í sama sæti í fylkinu A. Til dæmis:

$A-B={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\4&6\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}7&8\\-6&5\\-4&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-7&2-8\\3-(-6)&4-5\\4-(-4)&6-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-6&-6\\9&-1\\8&3\end{bmatrix}}$

Forsenda fyrir því að hægt sé að leggja saman fylki er að þau séu af sömu stærð, það er bæði jafnmargar línur og dálkar.

Eftirfarandi reglur gilda um samlagningu fylkja:

Víxlregla:

$A+B=B+A$

Tengiregla:

$(A+B)+C=A+(B+C)$

Margföldun fylkja

Mynd 3. Margföldun fylkja

Margföldun fylkja er aðeins flóknari en reikniaðgerðirnar hér á undan.

Þegar margfalda skal saman fylkin $A$ og $B$ þá fæst nýtt fylki, köllum það $C$ þannig að $C=AB$. Í sæti $ij$ í fylki $C$ kemur summa margfeldi staka í línu $i$ í fylkinu $A$ og staka í dálki $j$ í fylkinu $B$, eins og sýnt er á Mynd 3 hér til hægri.

Til dæmis ef:

$A={\begin{bmatrix}2&3\\-1&4\end{bmatrix}}$ og $B={\begin{bmatrix}3&-2\\1&5\end{bmatrix}}$ þá er:

$C=AB={\begin{bmatrix}2\cdot 3+3\cdot 1&2\cdot (-2)+3\cdot 5\\(-1)\cdot 3+4\cdot 1&(-1)\cdot (-2)+4\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}9&11\\1&22\end{bmatrix}}$

Hins vegar ef fylkin eru margfaldar saman þannig að $B$ sé vinstra megin, það er $D=BA$ þá fæst:

$D=BA={\begin{bmatrix}3\cdot 2+(-2)\cdot (-1)&3\cdot 3+(-2)\cdot 4\\1\cdot 2+5\cdot (-1)&1\cdot 3+5\cdot 4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&1\\-3&23\end{bmatrix}}$

Mynd 4. Forsenda fyrir stærð fylkja við margföldun og stærð loka fylkis

Af þessu litla dæmi þá sjáum við að röð fylkjanna skiptir máli og að víxlregla margföldunar gildir ekki um fylki, það er $AB\neq BA$.

Forsenda fyrir því að hægt sé að margfalda saman fylki er að fjöldi dálka í fremra fylkinu (vinstra megin) þarf að vera jafn fjölda lína í aftara fylkinu (hægra megin). Þannig að forsenda fyrir að $A\cdot B$ sé möguleg er að stærð $A$ sé $m\times q$ og stærð $B$ sé $q\times n$ og þá verður nýja fylkið $A\cdot B$ að stærð $m\times n$, sjá mynd 4 hér til hægri.

Tökum annað sýnidæmi um margföldun fylkja þar sem:

$A={\begin{bmatrix}4&2&-3\\-1&7&5\end{bmatrix}}$ og $B={\begin{bmatrix}3&-2&-1\\6&-4&0,5\\1&5&2\end{bmatrix}}$.

Hér er $A$ $2\times 3$ fylki og $B$ er $3\times 3$, því er hægt að margfalda saman fylkin þar sem fjöldi dálka í $A$ er jafn fjölda lína í $B$ og útkomufylkið verður $2\times 3$ fylki.

$AB={\begin{bmatrix}4\cdot 3+2\cdot 6+(-3)\cdot 1&4\cdot (-2)+2\cdot (-4)+(-3)\cdot 5&4\cdot (-1)+2\cdot (0,5)+(-3)\cdot 2\\(-1)\cdot 3+7\cdot 6+5\cdot 1&(-1)\cdot (-2)+7\cdot (-4)+5\cdot 5&(-1)\cdot (-1)+7\cdot (0,5)+5\cdot 2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}21&-31&-7\\44&-1&14,5\end{bmatrix}}$

Hins vegar er ekki hægt að framkvæma margföldunina $BA$, þar sem þá er verið að margfalda saman $(3\times 3)$ og $(2\times 3)$ fylki en þar sem $3\neq 2$, það er dálkar í fremra fylkinu, $B$, eru ekki jafnir línum í seinna fylkinu $A$. En það þarf að fara saman sbr. grænu örvarnar á Mynd 4. Forsendur fyrir margföldun eru brotnar.

Ýmsar reglur gilda um margföldun að því gefnu að forsendur um rétta stærð fylkjanna standast, bæði er varðar margföldun og samlagningu þar sem það á við.

Tengiregla:

$A(BC)=(AB)C$

Dreifireglur:

$A(B+C)=AB+AC$

$(A+B)C)=AC+BC$

Margföldunarhlutleysa:

$IA=A$

$AI=A$

Tengiregla margföldunar með fasta:

$k(AB)=(kA)B=A(kB)$

Bylt fylki

Að bylta fylki (e. transpose matrix) þýðir að línur verða að dálkum og dálkar verða að línum. Þetta er táknað með uppskrifuðu stóru $T$ hægra megin við fylkið, ($T$ fyrir Transpose). Þannig að fylkið $A$ bylt er táknað með $A^{T}$.

Til dæmis ef:

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$ þá er $A^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}$

Notkun fylkja

Þegar kemur að hagnýtingu eða notkun fylkja og fylkjareiknings er af mörgu að taka.

Línuleg algebra. Fylkjareikningur þróaðist við að finna lausn á jöfnuhneppum og nýist einnig vel til að leysa ýmis önnur vandamál eins og finna jöfnu bestu línu í gegnum tiltekið punktasafn.

Gagnageymsla. Fylki er í eðli sínu gagnageymsla sem geymir gögn í línu og dálki, þar sem sérhver lína hefur ákveðna merkingu og sömuleiðis hver dálkur. Almennt eru forrit í tölvum notuð til að sækja tilteknar upplýsingar í ákveðið stak í gögnunum, það er tiltekna línu og tiltekinn dálk. Oft eru forritin látin vinna meira með þessi gögn. Hér verður minnst á nokkur atriði.

Flokkun. Það er til dæmis hægt að nota fylki til að flokka fyrirliggjandi gögn í hópa, til dæmis texta eftir umfjöllunarefni eða hóp fólks eftir tilteknum einkennum, svo sem viðskiptavinir eftir keyptu magni vöru eða þjónustu [gerð A, gerð B, … ] eða nemendur sem flokkaðir eru eftir [námsbraut, einkunn í fagi A, fagi B, ... ].

Pixlar. Kannski eru stafrænar myndir einföldustu dæmin um fylki. Þar sem ör-staðsetningar á mynd, svo kallaðir pixlar mynda í raun fylki. Pixlar eða pixel á ensku er myndað úr pix sem stytting fyrir picture eða pic og el sem er stytting fyrir element sem er stak á íslensku. Það er tiltekinn fjöldi lína og dálka sem mynda pixla myndarinnar. Til að ákveða hvar tiltekinn litur eigi að vera þá er vísað til ákveðins staks í fylkinu, það er ákveðinn pixil sem hefur að geyma litinn sem þar skal vera. Því nákvæmari sem myndin er því fleiri pixlar, það er fleiri stök, stærra fylki.

Grafík. Það er hægt að breyta myndum með fylkjum, það er með fylkjareikningi, svo sem hliðra, snúa, skala til, skekkja og spegla myndum. Þetta er til dæmis eitt að því sem gert er í tölvugrafík.

Hreyfing. Fylki eru notuð til að lýsa hreyfingu úr einni stöðu í aðra. Hér er af mörgu að taka til dæmis spár um mannfjölda og stærð fiskistofna, umferð flugvéla, skipa, gervihnatta og stjarna svo eitt og annað sé nefnt. Þá er ógleymd notkunin við forritun róbóta og tölvuleikja. Sem dæmi þá er bein vísun í forritun róbóta í heiti kvikmyndarinnar Matrix, sem er enska fyrir fylki (matrices í fleirtölu).

Net. Hægt er að nota fylki til að lýsa neti eða tengslum milli „punkta“. Þessir punktar geta verið vefsíður, til dæmis er notast við slík net, það er fylki, við leit á vefnum svo sem með Google Serach. Punktarnir geta líka verið hópur fólks og netið lýsir tilteknum tengslum milli þeirra. Einnig eru slík net notuð í rafrásum svo eitthvað sé nefnt.

Krossapróf

1 Gefið er fylkið $A={\begin{bmatrix}4&0&-2&7\\-2&1&7&3\\5&6&-3&-1\end{bmatrix}}$. Hver er stærð fylkisins?

	$4\times 3$
	$43$
	$34$
	$3\times 4$

2 Gefið er fylkið $A={\begin{bmatrix}4&0&-2&7\\2&1&-7&3\\5&6&-3&-1\end{bmatrix}}$. Hvert er stakið $a_{32}$?

	-7
	6
	-3
	-2

3 Hvert verður stakið í sæti 12 eftir að búið er að reikna $2{\begin{bmatrix}0&-1\\-2&5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}4&3&\\7&-8\end{bmatrix}}$?

	1
	8
	10
	4

4 ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ er:

	${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$
	${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$
	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$
	${\begin{bmatrix}-1&-1\\1&-1\end{bmatrix}}$

5 Hvaða tala er í sæti 22 í fylkinu sem kemur út eftir margfeldið ${\begin{bmatrix}1&-1&3\\0&1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1\\1&-2\\1&-1\\\end{bmatrix}}$ ?

	5
	3
	4
	-5

Áhugaverðir tenglar

Hér eru nokkrar slóðir á áhugaverða tengla sem ítarefni. Reyndar var erfitt að velja því all margir komu til greina:

• Ýmislegt um fylki á ensku wikipediu

• Pixlar á ensku wikipediu

• Um ýmiss konar notkun fylkja (Myndband á ensku, 25,15 mín.)

Heimildir

Mynd 1, HB, CC BY-SA 3.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 4.feb.2022 á https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Matrice.svg.

Mynd 2, Quartl, CC BY-SA 3.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 4.feb.2022 á https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Matrix_addition_qtl2.svg.

Mynd 3, Svjo, CC BY-SA 4.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 4.feb.2022 á https://commons.wikimedia.org/wiki/File:MatrixMultiplication.png.

Mynd 4, Hrönn (eigin mynd), CC BY 4.0 hjá Wikimedia Commons, sótt 5.feb.2022 á https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Forsenda_margf_fylkja.jpg